[중1 수학] 최대공약수의 성질 완벽 이해하기 (공약수와의 관계, 서로소)

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핵심 요약: 최대공약수는 공약수들의 대장이에요! “두 개 이상의 자연수의 공약수는 그 수들의 최대공약수의 약수와 같다”는 것이 가장 중요한 핵심 성질입니다. 그리고 최대공약수가 \(1\)뿐인 두 자연수는 특별히 ‘서로소’라고 부른답니다.
중학 수학 1학년의 필수 관문! 초등학교 때 배운 최대공약수가 중학교에 오면 아주 마법 같은 성질을 갖게 됩니다. 매번 모든 공약수를 일일이 구하지 않아도 되는 놀라운 지름길, 지금부터 함께 알아볼까요?

1. 개념을 쏙쏙! 쉽게 이해하기

공약수들을 이끄는 단 하나의 대장, ‘최대공약수’의 놀라운 비밀을 파헤쳐 봅시다.

① 공약수와 최대공약수의 관계 (★초특급 중요)
두 개 이상의 자연수가 있을 때, 이 수들의 공통된 약수를 ‘공약수’라고 하고, 그중 가장 큰 수를 ‘최대공약수’라고 합니다.
여기서 수학의 아주 멋진 성질이 등장합니다.
“두 수의 공약수는, 그 두 수의 최대공약수의 약수와 완벽하게 똑같다!”
이 성질 덕분에 우리는 두 수의 공약수를 모두 찾고 싶을 때, 귀찮게 하나하나 다 구할 필요가 없어요. 딱 하나, ‘최대공약수’만 구한 다음 그것의 약수를 구하면 게임 끝이랍니다.
➡️ 예시 확인하기: \(12\)와 \(18\)의 공약수 구하기
– \(12\)의 약수: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)
– \(18\)의 약수: \(1, 2, 3, 6, 9, 18\)
– 공약수(공통인 약수): \(1, 2, 3, 6\)
– 최대공약수: 가장 큰 공약수인 \(6\)
자, 보세요! 공약수인 \(1, 2, 3, 6\)은 바로 최대공약수인 \(6\)의 약수와 완벽하게 일치하죠?
② ‘서로소’란 무엇일까? (숫자들의 단절)
최대공약수가 \(1\)뿐인 두 자연수를 우리는 ‘서로소(relatively prime)’라고 부릅니다.
즉, \(1\) 말고는 공통으로 나눌 수 있는 수가 전혀 없는, 서로 쿨하게 남남인 숫자들의 관계를 말해요.
➡️ 예: \(4\)와 \(9\)
– \(4\)의 약수: \(1, 2, 4\)
– \(9\)의 약수: \(1, 3, 9\)
– 공통된 약수는 오직 \(1\)뿐! 따라서 최대공약수는 \(1\)입니다. 그러므로 \(4\)와 \(9\)는 서로소입니다.
(주의할 점: 서로소라고 해서 두 수가 꼭 ‘소수’여야 하는 것은 아니에요. \(4\)와 \(9\) 모두 합성수이지만, 둘 사이의 관계는 서로소랍니다!)
③ 핵심 비교 및 꿀팁
– 공약수의 개수 구하기 = 최대공약수의 약수의 개수 구하기
– 만약 문제에서 “두 수 \(A, B\)의 최대공약수가 \(20\)이다. 두 수의 공약수의 개수는?” 이라고 묻는다면, \(20\)의 약수의 개수를 구하면 끝!
– 서로 다른 두 ‘소수’는 무조건 서로소입니다. (예: \(7\)과 \(11\))

2. 개념 확인 퀴즈 3개

퀴즈 1. 어떤 두 수의 최대공약수가 \(15\)일 때, 이 두 수의 공약수를 모두 구하면?

정답: \(1, 3, 5, 15\) (최대공약수인 \(15\)의 약수를 모두 구하면 됩니다.)

퀴즈 2. \(8\)과 \(15\)는 서로소인가요?

정답: 네, 서로소입니다. (\(8\)과 \(15\)의 최대공약수는 \(1\)뿐이니까요.)

퀴즈 3. 두 수의 공약수의 개수는 무엇의 약수의 개수와 같나요?

정답: 최대공약수

3. 연습문제로 익히기

  1. 두 자연수 \(A, B\)의 최대공약수가 \(24\)일 때, \(A, B\)의 공약수를 모두 쓰시오.
    \(24\)의 약수이므로 \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\) 입니다.
  2. 다음 중 두 수가 서로소인 것을 고르시오. [ \( (3, 6), (5, 12), (14, 21) \) ]
    \((5, 12)\) 입니다. (\(3\)과 \(6\)의 최대공약수는 \(3\), \(14\)와 \(21\)의 최대공약수는 \(7\)입니다.)
  3. 두 수 \(36\)과 \(48\)의 최대공약수를 구하고, 이를 이용해 공약수의 개수를 구하시오.
    최대공약수는 \(12\)이고, \(12\)의 약수는 \(6\)개(\(1, 2, 3, 4, 6, 12\))이므로 공약수의 개수는 \(6\)개입니다.
  4. \(1\)부터 \(10\)까지의 자연수 중 \(7\)과 서로소인 수의 개수는?
    \(7\)은 소수이므로, \(7\)의 배수인 \(7\)을 제외한 나머지 모든 수와 서로소입니다. 따라서 \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10\) 으로 총 \(9\)개입니다.
  5. 어떤 두 수의 공약수가 \(1, 2, 4, 8\)일 때, 두 수의 최대공약수는 얼마인가요?
    공약수 중 가장 큰 수가 최대공약수이므로, 정답은 \(8\)입니다.

4. 실생활 속 최대공약수

  • 타일 붙이기: 가로 \(120\text{cm}\), 세로 \(90\text{cm}\)인 직사각형 벽을 남는 부분 없이 가장 큰 정사각형 타일로 채우고 싶을 때, 타일 한 변의 길이는 \(120\)과 \(90\)의 최대공약수인 \(30\text{cm}\)가 됩니다.
  • 물건 나누어 주기: 사과 \(24\)개와 배 \(36\)개를 최대한 많은 친구들에게 똑같이 나누어 주려고 할 때, 나누어 줄 수 있는 사람의 수는 \(24\)와 \(36\)의 최대공약수인 \(12\)명이 됩니다.
  • 조 나누기: 남학생 \(18\)명, 여학생 \(24\)명이 있을 때 각 조의 남녀 학생 수를 같게 하여 최대한 많은 조를 짜려면 역시 최대공약수를 활용합니다.

5. 마무리 정리

  • 가장 중요한 성질: 두 수의 공약수는 두 수의 최대공약수의 약수이다!
  • 서로소: 최대공약수가 \(1\)인 두 자연수. (더 이상 나눌 수 없는 짝꿍)
  • 문제 풀이 스킬: 공약수를 직접 찾기 힘들 때는 무조건 최대공약수를 먼저 구한 뒤 그것의 약수를 찾자.
대표 유형 문제 5개 (기본부터 응용, 자세한 풀이)
내신 시험에 꼭 나오는 최대공약수의 성질과 서로소 문제들을 정복해 봅시다!
대표유형 문제
문제 1: 세 자연수 \(A, B, C\)의 최대공약수가 \(36\)일 때, 이 세 수의 공약수의 개수를 구하시오.
  1. 세 수의 공약수는 세 수의 최대공약수의 약수와 같습니다.
  2. 따라서 구하고자 하는 것은 ‘\(36\)의 약수의 개수’와 완벽하게 동일합니다.
  3. \(36\)을 소인수분해하면 \(36 = 2^2 \times 3^2\) 입니다.
  4. 약수의 개수는 각 지수에 \(1\)을 더하여 곱하는 것이므로 \((2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9\) 입니다.
\[ \therefore 9\text{개} \]
문제 2: 다음 보기 중 두 수가 서로소인 것을 모두 고르시오.
[ 보기: ① (9, 21), ② (11, 33), ③ (15, 28), ④ (18, 25), ⑤ (24, 32) ]
  1. 서로소는 최대공약수가 \(1\)인 두 수입니다.
  2. ① \(9\)와 \(21\)의 최대공약수는 \(3\) (서로소 아님)
  3. ② \(11\)과 \(33\)의 최대공약수는 \(11\) (서로소 아님)
  4. ③ \(15\)의 약수(1,3,5,15)와 \(28\)의 약수(1,2,4,7,14,28) 중 공약수는 \(1\)뿐이므로 최대공약수는 \(1\) (서로소 맞음)
  5. ④ \(18\)의 약수(1,2,3,6,9,18)와 \(25\)의 약수(1,5,25) 중 공약수는 \(1\)뿐이므로 최대공약수는 \(1\) (서로소 맞음)
  6. ⑤ \(24\)와 \(32\)의 최대공약수는 \(8\) (서로소 아님)
\[ \therefore \text{③, ④} \]
문제 3: 두 자연수 \(A, B\)에 대하여 \(A\)와 \(B\)의 공약수가 \(1, 2, 3, 4, 6, 12\) 일 때, 다음 중 \(A\)와 \(B\)의 공약수가 아닌 것은?
① \(2\) ② \(4\) ③ \(8\) ④ \(12\)
  1. 문제에서 공약수 목록이 이미 주어졌습니다.
  2. 주어진 목록 \(1, 2, 3, 4, 6, 12\) 안에 없는 숫자를 찾으면 됩니다. (참고로 이 두 수의 최대공약수는 가장 큰 수인 \(12\)입니다.)
  3. 보기 중에서 ③번인 \(8\)은 공약수 목록에 존재하지 않습니다.
\[ \therefore \text{③} \]
문제 4: 두 수 \(2^2 \times 3^a \times 5\)와 \(2^b \times 3^2 \times 7\)의 최대공약수가 \(2^2 \times 3^2\)일 때, 자연수 \(a, b\)에 대하여 \(a+b\)의 최솟값을 구하시오.
  1. 소인수분해된 수의 최대공약수를 구할 때는, 밑이 같은 소인수 중에서 지수가 같거나 작은 것을 선택합니다.
  2. 소인수 \(2\)를 비교해 봅시다. 주어진 수에서 지수는 \(2\)와 \(b\)이고, 최대공약수의 지수는 \(2\)입니다. 따라서 \(b\)는 \(2\)보다 크거나 같아야 합니다. (\(b \ge 2\))
  3. 소인수 \(3\)을 비교해 봅시다. 주어진 수에서 지수는 \(a\)와 \(2\)이고, 최대공약수의 지수는 \(2\)입니다. 따라서 \(a\)는 \(2\)보다 크거나 같아야 합니다. (\(a \ge 2\))
  4. 문제에서 \(a+b\)의 ‘최솟값’을 구하라고 했으므로, \(a\)와 \(b\)가 가질 수 있는 가장 작은 값인 \(a=2, b=2\)를 대입합니다.
  5. 따라서 최솟값은 \(2 + 2 = 4\) 입니다.
\[ \therefore 4 \]
문제 5: \(20\)보다 작은 자연수 중에서 \(12\)와 서로소인 수의 개수를 구하시오.
  1. \(12\)와 서로소이려면, \(12\)와 공통인 약수(소인수)가 없어야 합니다.
  2. \(12\)를 소인수분해하면 \(12 = 2^2 \times 3\) 입니다. 즉, \(12\)는 \(2\)의 배수이면서 \(3\)의 배수입니다.
  3. 따라서 \(12\)와 서로소가 되려면, \(20\)보다 작은 자연수 중에서 \(2\)의 배수도 아니고, \(3\)의 배수도 아닌 수를 찾아야 합니다.
  4. \(1\)부터 \(19\)까지의 수 중 \(2\)의 배수와 \(3\)의 배수를 지워봅시다.
  5. 남는 수: \(1, 5, 7, 11, 13, 17, 19\)
  6. 총 개수를 세어보면 \(7\)개입니다. (주의: \(1\)은 모든 자연수와 서로소이므로 반드시 포함해야 합니다!)
\[ \therefore 7\text{개} \]
최종 정답 모음
연습: 1. \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\) 2. \((5, 12)\) 3. \(6\)개 4. \(9\)개 5. \(8\)