아래 문제는 원문을 그대로 사용하지 않고, 같은 개념과 난이도로 다시 만든 유사 문제입니다.

다음 설명 중 옳은 것은?

① \(\sqrt{(-3)^2}\)의 제곱근은 \(\pm 3\)이다.

② \(8\)의 세제곱근은 \(\pm \sqrt[3]{8}\)이다.

③ \(-81\)의 네제곱근 중 실수인 것은 \(\sqrt[4]{-81}\)이다.

④ \(n\)이 짝수일 때, \(-16\)의 \(n\)제곱근 중에서 실수인 것은 2개이다.

⑤ \(n\)이 홀수일 때, \(5\)의 \(n\)제곱근 중에서 실수인 것은 1개뿐이다.

이 문제는 거듭제곱근의 개수와 실수 조건을 묻는 문제입니다.
특히 짝수 제곱근과 홀수 제곱근의 차이,
그리고 \(\sqrt{a}\)와 \(a\)의 제곱근이 서로 다른 뜻이라는 점을 정확히 알아야 합니다.

1. \(a\)의 \(n\)제곱근이란
   \[
   x^n=a
   \]
   를 만족하는 수 \(x\)를 말합니다.
2. \(n\)이 짝수일 때
   • \(a>0\)이면 실수인 \(n\)제곱근은 2개
   • \(a=0\)이면 실수인 \(n\)제곱근은 1개
   • \(a<0\)이면 실수인 \(n\)제곱근은 없습니다.
3. \(n\)이 홀수일 때는 양수든 음수든 관계없이 실수인 \(n\)제곱근은 항상 1개입니다.
4. \(\sqrt{a}\)는 보통 음이 아닌 값 하나를 뜻합니다.
   반면, “\(a\)의 제곱근”은
   \[
   x^2=a
   \]
   를 만족하는 모든 수를 뜻합니다.

1. 각 문장을 식으로 바꿔서 생각합니다.
2. 짝수 제곱근인지 홀수 제곱근인지 먼저 확인합니다.
3. 실수 범위에서 가능한지 판단합니다.
4. 참인 보기만 마지막에 고릅니다.

①은
\[
\sqrt{(-3)^2}\text{의 제곱근은 }\pm 3\text{이다.}
\]
라고 말하고 있습니다.

먼저 안쪽부터 계산하면
\[
(-3)^2=9
\]
입니다.
따라서
\[
\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3
\]
입니다.

이제 문장은 결국
“3의 제곱근은 \(\pm 3\)이다”라는 뜻이 됩니다.
그런데 3의 제곱근은
\[
x^2=3
\]
을 만족하는 수이므로
\[
x=\pm \sqrt{3}
\]
입니다.

즉, \(\pm 3\)이 아니라 \(\pm \sqrt{3}\)이므로 ①은 틀린 설명입니다.

②는
\[
8\text{의 세제곱근은 }\pm \sqrt[3]{8}\text{이다.}
\]
라고 되어 있습니다.

세제곱근은
\[
x^3=8
\]
을 만족하는 수를 말합니다.
여기서
\[
2^3=8
\]
이므로 \(2\)는 맞습니다.

그런데 \(-2\)를 넣어 보면
\[
(-2)^3=-8
\]
이므로 \(8\)이 아니라 \(-8\)이 됩니다.
따라서 \(-2\)는 \(8\)의 세제곱근이 아닙니다.

홀수 제곱근은 \(\pm\)로 묶어서 쓰면 틀릴 때가 많습니다.
실수 범위에서 \(8\)의 세제곱근은 하나뿐이고, 그 값은
\[
\sqrt[3]{8}=2
\]
입니다.

③은
\[
-81\text{의 네제곱근 중 실수인 것은 }\sqrt[4]{-81}\text{이다.}
\]
라고 되어 있습니다.

네제곱근은
\[
x^4=-81
\]
을 만족하는 실수 \(x\)를 말합니다.
그런데 어떤 실수 \(x\)에 대해서도
\[
x^4 \ge 0
\]
입니다.
왜냐하면 짝수 번 곱하면 결과가 음수가 될 수 없기 때문입니다.

따라서
\[
x^4=-81
\]
을 만족하는 실수는 존재하지 않습니다.
즉, \(-81\)의 네제곱근 중 실수인 것은 아예 없습니다.

“실수인 것은 \(\sqrt[4]{-81}\)이다”라는 말은 틀렸습니다.
실수인 값이 하나도 없기 때문입니다.

④는
\[
n\text{이 짝수일 때, }-16\text{의 }n\text{제곱근 중에서 실수인 것은 2개이다.}
\]
라고 되어 있습니다.

\(n\)이 짝수라면
\[
x^n
\]
은 실수 범위에서 항상 \(0\) 이상입니다.
그런데 지금은
\[
x^n=-16
\]
을 만족해야 합니다.
오른쪽은 음수이므로 실수에서는 불가능합니다.

따라서 실수인 \(n\)제곱근은 2개가 아니라 0개입니다.

⑤는
\[
n\text{이 홀수일 때, }5\text{의 }n\text{제곱근 중에서 실수인 것은 1개뿐이다.}
\]
라고 되어 있습니다.

이것은 거듭제곱근의 기본 성질 그대로입니다.
\(n\)이 홀수이면
\[
x^n=5
\]
는 실수 범위에서 해를 정확히 하나 가집니다.

예를 들어 \(n=3\)이면
\[
x^3=5
\]
이고, 실수해는
\[
x=\sqrt[3]{5}
\]
하나뿐입니다.

홀수 거듭제곱 함수는 계속 증가하는 형태이므로 같은 높이의 수평선과 한 번만 만납니다.
그래서 실수해가 정확히 1개입니다.

각 보기를 정리하면

• ① 거짓
• ② 거짓
• ③ 거짓
• ④ 거짓
• ⑤ 참

옳은 것은 ⑤입니다.

• \(\sqrt{9}\)를 \(\pm 3\)이라고 쓰는 실수
  \(\sqrt{9}\)는 3 하나입니다.
• “제곱근”과 “루트값”을 구분하지 않는 실수
  \(9\)의 제곱근은 \(\pm 3\)이지만, \(\sqrt{9}\)는 3입니다.
• 홀수 제곱근에도 무조건 \(\pm\)를 붙이는 실수
  세제곱근, 다섯제곱근은 실수 범위에서 하나만 나옵니다.
• 짝수 제곱근에서 음수도 실수가 된다고 착각하는 실수
  예를 들어 \(-16\)의 네제곱근은 실수에서 존재하지 않습니다.

거듭제곱근 문제를 풀 때는 다음 순서로 생각하면 됩니다.

1. 몇 제곱근인지 확인한다.
2. 짝수인지 홀수인지 확인한다.
3. 주어진 수가 양수인지 음수인지 확인한다.
4. 실수해의 개수를 판단한다.

시험에서는 이 성질을 문장으로 비틀어서 자주 묻습니다.
그래서 보기형 문제를 풀 때는 문장을 그대로 읽고 끝내지 말고,
반드시
\[
x^n=a
\]
꼴로 바꾸어 생각하는 습관이 중요합니다.

연습문제 1

다음 설명 중 옳은 것은?
① \(27\)의 세제곱근은 \(\pm 3\)이다.
② \(-16\)의 네제곱근 중 실수인 것은 없다.
③ \(\sqrt{16}\)의 제곱근은 \(\pm 4\)이다.

연습문제 2

다음 설명 중 옳지 않은 것은?
① \(0\)의 네제곱근 중 실수인 것은 \(0\) 하나이다.
② \(125\)의 세제곱근 중 실수인 것은 \(5\) 하나이다.
③ \(81\)의 네제곱근 중 실수인 것은 \(3\) 하나이다.

연습문제 3

\(n\)이 자연수일 때, 다음 설명 중 옳은 것은?
① \(n\)이 짝수이면 \(-1\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것은 2개이다.
② \(n\)이 홀수이면 \(-1\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것은 1개이다.
③ \(n\)이 홀수이면 \(4\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것은 2개이다.