중1 일차방정식 문장제 문제 풀이 | 두 자리 자연수의 자리 숫자 문제
중1 일차방정식 문장제 문제 풀이에서 자주 나오는 유형 중 하나가 두 자리 자연수의 자리 숫자 문제입니다. 이 유형은 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 문자로 나타내고, 자리 숫자를 바꾼 수를 식으로 세우는 것이 핵심입니다.
두 자리 자연수는 단순히 숫자 두 개를 붙여 쓴 것이 아니라, 십의 자리 숫자에는 \(10\)이 곱해져 있다는 점을 이해해야 합니다. 예를 들어 십의 자리 숫자가 \(7\), 일의 자리 숫자가 \(4\)인 수는 \[ 10\times 7+4=74 \] 입니다.
앞에서 배운 중1 일차방정식 문장제 연속하는 세 자연수 문제 풀이 처럼, 이번 문제도 먼저 문자를 정하고 문장을 방정식으로 바꾸는 과정이 중요합니다.
대표유형 문제
일의 자리 숫자가 \(4\)인 두 자리 자연수가 있다. 이 자연수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 서로 바꾸어 만든 수는 처음 수보다 \(27\)만큼 작다고 한다. 처음 수를 구하시오.
풀이 전 핵심 개념
두 자리 자연수는 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자로 이루어져 있습니다. 십의 자리 숫자를 \(x\), 일의 자리 숫자를 \(y\)라고 하면 이 수는 다음과 같이 나타냅니다.
\[
10x+y
\]
십의 자리 숫자가 \(3\), 일의 자리 숫자가 \(5\)인 수: \(10\times3+5=35\)
십의 자리 숫자가 \(8\), 일의 자리 숫자가 \(2\)인 수: \(10\times8+2=82\)
십의 자리 숫자가 \(x\), 일의 자리 숫자가 \(4\)인 수: \(10x+4\)
자리 숫자를 서로 바꾼 수는 십의 자리와 일의 자리가 바뀝니다.
예를 들어 \(74\)의 자리 숫자를 바꾸면 \(47\)이 됩니다.
이 문제에서는 일의 자리 숫자가 \(4\)라고 했으므로,
처음 수를 \(10x+4\)로 놓고, 자리 숫자를 바꾼 수를 \(40+x\)로 나타내면 됩니다.
곰쌤 지도 포인트
이 문제를 수업에서 설명할 때는 다음 세 가지를 꼭 강조해 주세요.
- 두 자리 수는 \(10\times\)십의 자리 숫자 \(+\) 일의 자리 숫자입니다.
십의 자리 숫자가 \(x\), 일의 자리 숫자가 \(4\)이면 수는 \(x+4\)가 아니라 \(10x+4\)입니다. - 자리 숫자를 바꾸면 십의 자리와 일의 자리가 서로 바뀝니다.
처음 수가 \(10x+4\)라면 바꾼 수는 \(40+x\)입니다. - “27만큼 작다”를 정확히 식으로 나타내야 합니다.
바꾼 수가 처음 수보다 \(27\) 작으므로
\[
40+x=(10x+4)-27
\]
로 나타낼 수 있습니다.
단계별 상세 풀이
Step 1. 십의 자리 숫자를 \(x\)로 놓습니다
문제에서 일의 자리 숫자가 \(4\)라고 했습니다. 십의 자리 숫자는 아직 모르므로 십의 자리 숫자를 \(x\)라고 놓겠습니다.
\[
\text{십의 자리 숫자}=x
\]
두 자리 자연수이므로 \(x\)는 \(1\)부터 \(9\)까지의 자연수여야 합니다.
Step 2. 처음 수를 식으로 나타냅니다
십의 자리 숫자가 \(x\), 일의 자리 숫자가 \(4\)이므로 처음 수는
\[
10x+4
\]
입니다.
여기서 \(x+4\)라고 쓰면 안 됩니다.
십의 자리 숫자는 실제 수에서 \(10x\)를 뜻합니다.
Step 3. 자리 숫자를 바꾼 수를 식으로 나타냅니다
처음 수의 십의 자리 숫자는 \(x\), 일의 자리 숫자는 \(4\)입니다. 이 두 숫자를 서로 바꾸면 \(4\)가 십의 자리로 가고, \(x\)가 일의 자리로 갑니다.
따라서 자리 숫자를 바꾼 수는
\[
10\times4+x=40+x
\]
입니다.
Step 4. “처음 수보다 \(27\)만큼 작다”를 식으로 나타냅니다
문제에서 자리 숫자를 바꾼 수는 처음 수보다 \(27\)만큼 작다고 했습니다.
“바꾼 수가 처음 수보다 \(27\) 작다”는 말은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[
\text{바꾼 수}=\text{처음 수}-27
\]
바꾼 수는 \(40+x\), 처음 수는 \(10x+4\)이므로
\[
40+x=(10x+4)-27
\]
라는 방정식을 세울 수 있습니다.
Step 5. 방정식을 풉니다
방정식은 \[ 40+x=(10x+4)-27 \] 입니다.
오른쪽을 먼저 정리하면
\[
10x+4-27=10x-23
\]
따라서
\[
40+x=10x-23
\]
양변에서 \(x\)를 빼면
\[
40=9x-23
\]
양변에 \(23\)을 더하면
\[
63=9x
\]
양변을 \(9\)로 나누면
\[
x=7
\]
따라서 십의 자리 숫자는 \(7\)입니다.
Step 6. 처음 수를 구합니다
처음 수는 \[ 10x+4 \] 입니다.
\(x=7\)을 대입하면
\[
10\times7+4=74
\]
따라서 처음 수는 \(74\)입니다.
검산하기
구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인해 보겠습니다.
처음 수가 \(74\)라면 일의 자리 숫자는 \(4\)입니다.
조건에 맞습니다.
자리 숫자를 바꾸면 \(47\)입니다.
처음 수 \(74\)와 바꾼 수 \(47\)의 차를 구하면
\[
74-47=27
\]
바꾼 수 \(47\)은 처음 수 \(74\)보다 \(27\)만큼 작습니다.
따라서 문제의 조건에 맞습니다.
\[ \boxed{74} \]
다른 풀이 ― 차를 바로 이용하기
“자리 숫자를 바꾼 수가 처음 수보다 \(27\) 작다”는 말은 처음 수과 바꾼 수의 차가 \(27\)이라는 뜻입니다.
처음 수는 \(10x+4\), 바꾼 수는 \(40+x\)이므로
\[
(10x+4)-(40+x)=27
\]
왼쪽을 정리하면
\[
10x+4-40-x=27
\]
\[
9x-36=27
\]
양변에 \(36\)을 더하면
\[
9x=63
\]
양변을 \(9\)로 나누면
\[
x=7
\]
따라서 처음 수는
\[
10\times7+4=74
\]
입니다.
자주 하는 실수
- 두 자리 자연수를 \(x+4\)로 쓰는 실수
십의 자리 숫자가 \(x\), 일의 자리 숫자가 \(4\)인 수는 \(x+4\)가 아니라 \(10x+4\)입니다. - 자리 숫자를 바꾼 수를 \(4+x\)로 쓰는 실수
\(4\)가 십의 자리로 가므로 바꾼 수는 \(40+x\)입니다. - “27만큼 작다”를 반대로 해석하는 실수
바꾼 수가 처음 수보다 작으므로 \(바꾼 수=처음 수-27\)입니다. - \(x=7\)을 답으로 쓰는 실수
\(x=7\)은 십의 자리 숫자입니다. 문제에서 묻는 것은 처음 수이므로 \(74\)를 답으로 써야 합니다.
틀렸다면 다시 풀어볼 복습 문제
복습 문제 1
일의 자리 숫자가 \(3\)인 두 자리 자연수가 있다. 이 자연수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 서로 바꾸어 만든 수는 처음 수보다 \(36\)만큼 작다고 한다. 처음 수를 구하시오.
정답과 풀이 보기
십의 자리 숫자를 \(x\)라고 놓겠습니다.
일의 자리 숫자가 \(3\)이므로 처음 수는
\[
10x+3
\]
입니다.
자리 숫자를 바꾼 수는 \(30+x\)입니다.
바꾼 수가 처음 수보다 \(36\) 작다고 했으므로
\[
30+x=(10x+3)-36
\]
오른쪽을 정리하면
\[
30+x=10x-33
\]
양변에서 \(x\)를 빼면
\[
30=9x-33
\]
양변에 \(33\)을 더하면
\[
63=9x
\]
따라서
\[
x=7
\]
처음 수는
\[
10\times7+3=73
\]
입니다.
실제로 \(73-37=36\)이므로 조건에 맞습니다.
정답: \(\boxed{73}\)
복습 문제 2
일의 자리 숫자가 \(2\)인 두 자리 자연수가 있다. 이 자연수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 서로 바꾸어 만든 수는 처음 수보다 \(45\)만큼 작다고 한다. 처음 수를 구하시오.
정답과 풀이 보기
십의 자리 숫자를 \(x\)라고 놓겠습니다.
일의 자리 숫자가 \(2\)이므로 처음 수는
\[
10x+2
\]
입니다.
자리 숫자를 바꾼 수는 \(20+x\)입니다.
바꾼 수가 처음 수보다 \(45\) 작다고 했으므로
\[
20+x=(10x+2)-45
\]
오른쪽을 정리하면
\[
20+x=10x-43
\]
양변에서 \(x\)를 빼면
\[
20=9x-43
\]
양변에 \(43\)을 더하면
\[
63=9x
\]
따라서
\[
x=7
\]
처음 수는
\[
10\times7+2=72
\]
입니다.
실제로 \(72-27=45\)이므로 조건에 맞습니다.
정답: \(\boxed{72}\)
자주 묻는 질문
Q1. 두 자리 자연수는 왜 \(10x+y\)로 나타내나요?
십의 자리 숫자는 실제 수에서 \(10\)의 묶음 개수를 뜻합니다. 그래서 십의 자리 숫자가 \(x\), 일의 자리 숫자가 \(y\)이면 수는 \(10x+y\)입니다.
Q2. 자리 숫자를 바꾼 수는 어떻게 나타내나요?
십의 자리와 일의 자리가 서로 바뀝니다.
처음 수가 \(10x+4\)이면 바꾼 수는 \(40+x\)입니다.
Q3. \(x=7\)을 구했는데 왜 답이 \(7\)이 아닌가요?
\(x=7\)은 십의 자리 숫자입니다.
문제에서 묻는 것은 처음 수이므로 \(10x+4\)에 대입해 \(74\)를 구해야 합니다.
1. 십의 자리 숫자를 \(x\), 일의 자리 숫자를 \(y\)라고 하면 두 자리 수는 \(10x+y\)입니다.
2. 십의 자리 숫자가 \(x\), 일의 자리 숫자가 \(4\)인 수는 \(10x+4\)입니다.
3. 자리 숫자를 바꾸면 \(40+x\)가 됩니다.
4. “바꾼 수가 처음 수보다 \(27\) 작다”는 \(40+x=(10x+4)-27\)로 나타낼 수 있습니다.
5. \(x\)는 십의 자리 숫자이므로, 마지막에는 처음 수 \(10x+4\)를 구해야 합니다.
아래 영상에서 두 자리 자연수를 \(10x+y\)로 나타내고, 자리 숫자를 바꾼 수와 비교하여 방정식을 세우는 과정을 다시 확인해 보세요.
이 문제를 맞혔다면 다음에는 두 자리 자연수의 각 자리 숫자의 합을 이용한 문제로 넘어가 보세요.
틀렸다면 두 자리 자연수를 \(10x+y\)로 나타내는 부분을 다시 확인해 주세요.
대표유형 문제풀이와 개념 정리는 곰쌤수학 홈페이지를 참고해 주세요.
https://gomsu.co.kr/
곰쌤수학 대표 카페에서도 각종 자료를 공유합니다.
https://cafe.naver.com/gomsu2020
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