중1 일차방정식 문장제 문제 풀이 | 연속하는 세 자연수의 합
중1 일차방정식 문장제 문제 풀이에서 자주 나오는 유형 중 하나가 연속하는 세 자연수의 합을 이용하는 문제입니다. 이 유형은 계산 자체보다 세 수를 문자로 어떻게 나타내는지가 더 중요합니다.
연속하는 자연수는 \(8,9,10\)처럼 1씩 차이가 나는 자연수입니다. 연속하는 세 자연수를 나타낼 때는 가운데 수를 \(x\)로 놓으면 \[ x-1,\quad x,\quad x+1 \] 로 깔끔하게 표현할 수 있습니다.
앞에서 배운 중1 일차방정식 문장제 어떤 수 문제 풀이 를 이해했다면, 이번 문제는 그 다음 단계로 자연스럽게 이어지는 유형입니다. 어떤 수를 \(x\)로 놓고 조건을 식으로 바꾸는 연습을 계속해 보겠습니다.
대표유형 문제
연속하는 세 자연수의 합이 \(57\)일 때, 이 세 자연수 중 가장 큰 수를 구하시오.
풀이 전 핵심 개념
연속하는 세 자연수란 1씩 차이가 나는 세 개의 자연수입니다.
예: \(3,4,5\)
예: \(10,11,12\)
예: \(25,26,27\)
연속하는 세 자연수는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
가운데 수를 \(x\)로 놓으면
\[
x-1,\quad x,\quad x+1
\]
가장 작은 수를 \(x\)로 놓으면
\[
x,\quad x+1,\quad x+2
\]
이번 문제처럼 세 수의 합이 주어진 경우에는 가운데 수를 \(x\)로 놓는 방법이 편합니다.
왜냐하면
\[
(x-1)+x+(x+1)=3x
\]
로 정리되어 계산이 아주 간단해지기 때문입니다.
곰쌤 지도 포인트
이 문제를 수업에서 설명할 때는 다음 세 가지를 꼭 짚어 주세요.
- 연속하는 세 자연수는 1씩 차이가 납니다.
세 수를 \(x,y,z\)처럼 각각 다르게 놓는 것보다 \(x-1,x,x+1\)처럼 관계가 드러나게 놓는 것이 좋습니다. - 가운데 수를 \(x\)로 놓으면 합이 간단해집니다.
\((x-1)+x+(x+1)\)에서 \(-1\)과 \(+1\)이 없어지므로 \(3x\)가 됩니다. - 문제에서 묻는 값을 끝까지 확인해야 합니다.
\(x\)는 가운데 수입니다. 가장 큰 수를 물으면 \(x+1\), 가장 작은 수를 물으면 \(x-1\)을 답으로 써야 합니다.
단계별 상세 풀이
Step 1. 가운데 수를 \(x\)로 놓습니다
연속하는 세 자연수의 합이 주어졌으므로 가운데 수를 기준으로 나타내겠습니다. 가운데 수를 \(x\)라고 놓습니다.
\[
\text{가운데 수}=x
\]
그러면 가운데 수보다 1 작은 수는 \(x-1\), 가운데 수보다 1 큰 수는 \(x+1\)입니다.
Step 2. 연속하는 세 자연수를 문자로 나타냅니다
가운데 수를 \(x\)로 놓았으므로 연속하는 세 자연수는 다음과 같습니다.
\[
x-1,\quad x,\quad x+1
\]
예를 들어 가운데 수가 \(19\)라면 세 수는 \(18,19,20\)입니다.
실제로 세 수는 1씩 차이가 납니다.
Step 3. 세 수의 합이 \(57\)이라는 조건을 식으로 세웁니다
문제에서 연속하는 세 자연수의 합이 \(57\)이라고 했습니다. 따라서 다음과 같이 방정식을 세울 수 있습니다.
\[
(x-1)+x+(x+1)=57
\]
이제 이 방정식을 풀어 가운데 수 \(x\)를 구하겠습니다.
Step 4. 방정식을 정리합니다
방정식은 다음과 같습니다.
\[
(x-1)+x+(x+1)=57
\]
왼쪽을 차례대로 정리하면
\[
x-1+x+x+1=57
\]
여기서 \(-1\)과 \(+1\)은 서로 더하면 \(0\)이 됩니다.
\[
3x=57
\]
양변을 \(3\)으로 나누면
\[
x=19
\]
따라서 가운데 수는 \(19\)입니다.
Step 5. 가장 큰 수를 구합니다
세 자연수는 \[ x-1,\quad x,\quad x+1 \] 입니다.
가운데 수가 \(x=19\)이므로 세 수는
\[
18,\quad 19,\quad 20
\]
입니다.
이 중 가장 큰 수는 \(20\)입니다.
검산하기
구한 세 수가 문제의 조건에 맞는지 확인하겠습니다.
세 수는 \(18,19,20\)입니다.
이 세 수는 1씩 차이가 나므로 연속하는 세 자연수입니다.
세 수의 합을 계산하면
\[
18+19+20=57
\]
문제의 조건과 일치합니다.
따라서 가장 큰 수 \(20\)은 올바른 답입니다.
\[ \boxed{20} \]
다른 풀이 ― 가장 작은 수를 \(x\)로 놓기
이번에는 가장 작은 수를 \(x\)라고 놓고 풀어보겠습니다.
연속하는 세 자연수는
\[
x,\quad x+1,\quad x+2
\]
입니다.
세 수의 합이 \(57\)이므로
\[
x+(x+1)+(x+2)=57
\]
왼쪽을 정리하면
\[
3x+3=57
\]
양변에서 \(3\)을 빼면
\[
3x=54
\]
양변을 \(3\)으로 나누면
\[
x=18
\]
따라서 세 수는
\[
18,\quad 19,\quad 20
\]
이고, 가장 큰 수는 \(20\)입니다.
이 풀이도 맞지만, 합 문제에서는 가운데 수를 \(x\)로 놓는 방법이 더 간단합니다.
자주 하는 실수
- 연속하는 세 자연수를 \(x,x,x\)로 놓는 실수
세 수는 모두 같은 수가 아닙니다. 1씩 차이가 나야 하므로 \(x-1,x,x+1\)처럼 나타내야 합니다. - \(x\)를 가장 큰 수로 착각하는 실수
\(x-1,x,x+1\)에서 \(x\)는 가운데 수입니다. 가장 큰 수는 \(x+1\)입니다. - \(x=19\)를 답으로 쓰는 실수
\(19\)는 가운데 수입니다. 문제에서 가장 큰 수를 물었으므로 답은 \(20\)입니다. - 검산을 하지 않는 실수
구한 세 수의 합이 실제로 \(57\)이 되는지 확인해야 합니다.
틀렸다면 다시 풀어볼 복습 문제
복습 문제 1
연속하는 세 자연수의 합이 \(72\)일 때, 이 세 자연수 중 가장 큰 수를 구하시오.
정답과 풀이 보기
가운데 수를 \(x\)라고 놓습니다.
그러면 세 자연수는
\[
x-1,\quad x,\quad x+1
\]
입니다.
세 수의 합이 \(72\)이므로
\[
(x-1)+x+(x+1)=72
\]
왼쪽을 정리하면
\[
3x=72
\]
양변을 \(3\)으로 나누면
\[
x=24
\]
따라서 세 자연수는
\[
23,\quad 24,\quad 25
\]
입니다. 가장 큰 수는 \(25\)입니다.
정답: \(\boxed{25}\)
복습 문제 2
연속하는 세 자연수의 합이 \(105\)일 때, 이 세 자연수 중 가장 작은 수를 구하시오.
정답과 풀이 보기
가운데 수를 \(x\)라고 놓습니다.
그러면 세 자연수는
\[
x-1,\quad x,\quad x+1
\]
입니다.
세 수의 합이 \(105\)이므로
\[
(x-1)+x+(x+1)=105
\]
왼쪽을 정리하면
\[
3x=105
\]
양변을 \(3\)으로 나누면
\[
x=35
\]
따라서 세 자연수는
\[
34,\quad 35,\quad 36
\]
입니다.
문제에서 묻는 것은 가장 작은 수이므로 답은 \(34\)입니다.
정답: \(\boxed{34}\)
자주 묻는 질문
Q1. 왜 가운데 수를 \(x\)로 놓나요?
세 수의 합을 구할 때 계산이 가장 간단해지기 때문입니다. \((x-1)+x+(x+1)=3x\)가 되어 바로 가운데 수를 구할 수 있습니다.
Q2. \(x,x+1,x+2\)로 놓으면 틀리나요?
틀리지 않습니다.
가장 작은 수를 \(x\)로 놓으면 \(x,x+1,x+2\)로 나타낼 수 있습니다.
다만 식이 \(3x+3=57\)처럼 되어 가운데 수를 \(x\)로 놓는 것보다 계산이 조금 더 길어집니다.
Q3. 연속하는 세 짝수나 홀수는 어떻게 나타내나요?
연속하는 짝수나 홀수는 2씩 차이가 납니다.
따라서 \(x-2,x,x+2\) 또는 \(x,x+2,x+4\)처럼 나타낼 수 있습니다.
1. 연속하는 세 자연수는 1씩 차이가 납니다.
2. 가운데 수를 \(x\)로 놓으면 세 수는 \(x-1,x,x+1\)입니다.
3. 세 수의 합 조건으로 방정식을 세웁니다.
4. \(x\)는 가운데 수이므로 가장 큰 수는 \(x+1\)입니다.
5. 문제에서 묻는 값이 가장 큰 수인지, 가장 작은 수인지 끝까지 확인해야 합니다.
아래 영상에서 연속하는 세 자연수를 \(x-1,x,x+1\)로 나타내고, 합 조건을 이용해 방정식을 세우는 과정을 다시 확인해 보세요.
이 문제를 맞혔다면 다음에는 연속하는 세 짝수 또는 홀수의 합 문제로 넘어가 보세요.
틀렸다면 연속하는 세 자연수를 \(x-1,x,x+1\)로 나타내는 부분을 다시 확인해 주세요.
대표유형 문제풀이와 개념 정리는 곰쌤수학 홈페이지를 참고해 주세요.
https://gomsu.co.kr/
곰쌤수학 대표 카페에서도 각종 자료를 공유합니다.
https://cafe.naver.com/gomsu2020
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