삼각함수 제곱식 문제 풀이 | 변환 공식으로 식의 값 구하기
삼각함수 제곱식 문제 풀이에서는 먼저 각을 변환하여
\(\sin x\) 또는 \(\cos x\) 꼴로 바꾸는 것이 중요합니다.
그다음 제곱을 이용해 부호를 정리하고, 마지막에
\[
\sin^2 x+\cos^2 x=1
\]
공식을 사용하면 식이 매우 간단해집니다.
이번 글에서는 \(\frac{\pi}{2}\)가 들어간 삼각함수의 변환 공식을 이용해
복잡해 보이는 제곱식을 간단히 정리하는 방법을 단계별로 설명하겠습니다.
삼각함수 변환 공식이 아직 헷갈린다면 먼저
삼각함수 변환 공식 개념 정리를
확인하고 오면 더 쉽게 이해할 수 있습니다.
다음 식을 간단히 하시오.
\[
\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
\]
이 문제에서 필요한 공식은 크게 두 가지입니다.
\[
\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x
\]
\[
\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x
\]
\[
\sin^2x+\cos^2x=1
\]
여기서 \(\frac{\pi}{2}\)는 \(90^\circ\)를 뜻합니다.
삼각함수에서 \(90^\circ\)가 더해지거나 빠지는 형태가 나오면,
사인과 코사인의 이름이 서로 바뀌는 경우가 많습니다.
이 문제는 변환 공식으로 각각을 \(\sin x\), \(\cos x\)로 바꾼 뒤,
\(\sin^2x+\cos^2x=1\) 공식을 적용하면 됩니다.
이 공식은
삼각함수 기본공식 정리에서도
꼭 다루는 핵심 공식입니다.
이 문제를 설명할 때는 학생들에게 다음 세 가지를 강조해 주세요.
첫 번째 항은
\[
\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)
\]
입니다.
먼저 안쪽의 삼각함수를 변환합니다.
\[
\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x
\]
따라서 양변을 제곱하면
\[
\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos^2x
\]
첫 번째 항은 \(\cos^2x\)로 바뀝니다.
두 번째 항은
\[
\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
\]
입니다.
먼저 안쪽의 삼각함수를 변환하면
\[
\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x
\]
따라서 양변을 제곱하면
\[
\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin^2x
\]
두 번째 항은 \(\sin^2x\)로 바뀝니다.
원래 식은
\[
\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
\]
이었습니다.
앞에서 구한 결과를 대입하면
\[
\cos^2x+\sin^2x
\]
이 됩니다.
삼각함수의 기본공식은 다음과 같습니다.
\[
\sin^2x+\cos^2x=1
\]
덧셈의 순서를 바꾸어도 값은 같으므로
\[
\cos^2x+\sin^2x=1
\]
따라서 주어진 식의 값은 \(1\)입니다.
\[
\boxed{1}
\]
\(\frac{\pi}{2}\)는 \(90^\circ\)입니다.
삼각함수 그래프에서 \(90^\circ\)만큼 이동하면 사인과 코사인의 모양이 서로 바뀝니다.
따라서
\[
\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)
\]
는 \(\cos x\)와 같은 값으로 바뀌고,
\[
\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
\]
는 \(\sin x\)와 같은 값으로 바뀝니다.
결국 주어진 식은
\[
\cos^2x+\sin^2x
\]
이 되고, 이는 항상 \(1\)입니다.
다음 식을 간단히 하시오.
\[
\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)
\]
먼저 각각을 변환합니다.
\[
\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x
\]
\[
\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x
\]
제곱하면 첫 번째 항은
\[
\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=(-\sin x)^2=\sin^2x
\]
두 번째 항은
\[
\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos^2x
\]
따라서 전체 식은
\[
\sin^2x+\cos^2x=1
\]
정답: \(\boxed{1}\)
다음 식을 간단히 하시오.
\[
\sin^2(\pi-x)+\cos^2(2\pi+x)
\]
먼저 각각을 변환합니다.
\[
\sin(\pi-x)=\sin x
\]
\[
\cos(2\pi+x)=\cos x
\]
따라서 제곱하면
\[
\sin^2(\pi-x)=\sin^2x
\]
\[
\cos^2(2\pi+x)=\cos^2x
\]
전체 식은
\[
\sin^2x+\cos^2x=1
\]
정답: \(\boxed{1}\)
Q1. 왜 \(\frac{\pi}{2}\)가 나오면 사인과 코사인이 바뀌나요?
\(\frac{\pi}{2}\)는 \(90^\circ\)입니다.
삼각함수에서 \(90^\circ\)만큼 이동한 각은 사인과 코사인의 관계가 서로 바뀌는 형태로 나타납니다.
Q2. 제곱이 있으면 부호는 신경 쓰지 않아도 되나요?
변환할 때는 부호를 정확히 확인해야 합니다.
다만 마지막에 제곱을 하면 \((- \sin x)^2=\sin^2x\)처럼 음수 부호가 사라집니다.
Q3. 이런 문제는 어떤 공식을 가장 먼저 떠올려야 하나요?
\(\sin^2x+\cos^2x=1\)입니다.
삼각함수 제곱식에서 \(\sin^2x\)와 \(\cos^2x\)가 함께 나오면 이 공식을 가장 먼저 생각해야 합니다.
1. \(\frac{\pi}{2}\)가 들어간 삼각함수는 변환 공식을 먼저 적용합니다.
2. \(\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x\)입니다.
3. \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\)입니다.
4. 제곱식으로 정리한 뒤 \(\sin^2x+\cos^2x=1\)을 사용합니다.
5. 최종값은 \(1\)입니다.
아래 영상에서 삼각함수 변환 공식과 제곱식을 이용해 식을 간단히 하는 방법을 다시 확인해 보세요.
이 문제를 맞혔다면 다음에는 삼각함수 변환 공식 응용 문제로 넘어가 보세요.
틀렸다면 \(\frac{\pi}{2}\)가 더해지거나 빠질 때 사인과 코사인이 어떻게 바뀌는지 다시 확인해 주세요.
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